Quantas cores são necessárias para pintar um mapa? Na aula de matemática, apenas quatro

Atualizado em: 22/12/2023

Quem lembra de suas aulas de geografia pode lembrar de como era difícil escolher as cores certas para pintar mapas sem que as regiões se confundissem. Se um professor de matemática fosse incluído nessas aulas, os alunos poderiam descobrir que precisam de apenas quatro cores para pintar o mapa. É o chamado teorema das quatro cores, cuja história você conhece neste post.

Desvendando o teorema das quatro cores

O caminho até chegar ao teorema das quatro cores começou com tentativa e erro e levou 124 anos para ser plenamente demonstrado, na primeira prova matemática confirmada com o auxílio de um computador. 

Em 1852, o matemático Francis Guthrie decidiu pintar todos os condados da Inglaterra utilizando apenas quatro cores. Hoje, o país tem 82 divisões administrativas na divisão por condados metropolitanos e não metropolitanos. O teste deu certo e ele decidiu repetir em outros mapas, tentativas que se mostraram bem-sucedidas. Segundo ele, quatro cores permitiriam colorir qualquer mapa, sem que elas se repetissem em territórios imediatamente vizinhos.

O irmão de Guthrie, Frederick, era na época estudante de Matemática na University College of London. Lá, era aluno de Augustus de Morgan, um dos criadores da lógica simbólica moderna, e consultou seu mentor sobre a hipótese de Francis.

Faz sentido intuitivo; hoje, até o pintor Romero Britto deve ter essa intuição. O mais complicado, porém, seria provar matematicamente. 

A matemática por trás do teorema das quatro cores

Pela regra de não repetir a mesma cor para países vizinhos, Morgan notou que alguns países não poderiam ser pintados com apenas três cores. Isso reforçava a ideia das quatro cores. Ocorre que, ainda que julgasse correta a intuição de Francis Guthrie, Morgan não conseguiu provar o postulado. Como o problema era interessante, publicou-o num artigo no jornal Nature em 1878, chamando a atenção de outros estudiosos.

Tentar provar o teorema das quatro cores foi diversão garantida para matemáticos ao longo de mais de um século. O que faltava, porém, era capacidade humana de fazer todos os cálculos necessários.

Um problema surgido quando só havia lápis e papel só pôde ser resolvido em 1976, quando a Universidade de Illinois dispunha de um então possante computador IBM para rodar os cálculos necessários. Foram os matemáticos Kenneth Appel e Wolfgang Haken os responsáveis pela prova inovadora para sua época, a primeira a usar o auxílio de um computador. 

Para isso, eles primeiro trabalharam numa definição computável do problema usando a teoria dos grafos de Euler, que já permitia trabalhar matematicamente com poliedros. Os grafos são conjuntos de vértices – pontos de cruzamento entre duas ou mais arestas. As arestas são as fronteiras e os vértices são pontos de intersecção de fronteiras; cada face equivale a um território. Nesses exemplos, os vértices eram coloridos. Daí se calculariam as vizinhanças. 

Segundo o New York Times, o computador precisou de 1.200 horas de processamento (algo como 50 dias) e 10 bilhões de decisões lógicas até chegar à prova. Foram simuladas 1.482 formas consideradas inevitáveis para um mapa. 

Muitos matemáticos da época torceram o nariz para a prova hoje considerada pioneira, julgando que a “ajudinha” do computador equivalia quase a colar na prova. Sem essa ajuda, porém, considerando a quantidade de cálculos necessários, o teorema das quatro cores poderia ter continuado sem prova até hoje. O que você pensa a respeito?